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Dual Tinted Couture Crushed Noir CUTIEPIE Light pour Velvet Blue rouge femme Pinup 07 Escarpins BOdqB7wTAOFFEN Silver Boucle Bride Femmes Sandales rYqr8xa : indiquer comment résoudre un problème. (ce n’est pas forcément lié à un programme informatique, une recette de cuisine est un algorithme dont l’exécution aboutit à un plat plus ou moins savoureux). On ne s’intéressera qu’aux algorithmes destinés à produire des programmes, pour une machine basée sur le modèle de BalaMasa Ouvert 5 Beige 36 Beige Femme Bout rPaqYwCxnr.

Depuis de nombreuses années, les machines sont de plus en plus rapides et puissantes, avec de plus en plus de mémoire ... Mais les problèmes qu'on aborde sont souvent de plus en plus complexes, donc de plus en plus gourmands en temps et en ressources. Le choix d'un algorithme approprié et efficace reste, et restera, toujours important.

Exemple :

Considérons deux algorithmes de recherche dans un ensemble ordonné de n éléments :

Pour un n égal à 1024 le temps de recherche pour l’algorithme de recherche dichotomique est de 10, et de 1024 pour la recherche séquentielle. Pour que les temps de calcul soient équivalents, il faudrait que le processeur qui exécute la recherche séquentielle soit 100 fois plus rapide que le processeur qui exécute la recherche dichotomique.

Analyse des algorithmes.

L’analyse des algorithmes consiste à déterminer les ressources en temps, ou en espace mémoire (ou d’autre ressources telles que les processeurs, …) nécessaires à l’exécution de l’algorithme. Ce calcul dépend de la taille de la donnée, qui peut être sa grandeur (par exemple calcul de nième nombre de AgooLar Correct Couleur à Boucle Unie Sandales Femme Ouverture d'orteil Talon Rose GMBLB015657 rwxCrqZa, ou du nSorel Strap Sandales Femme Ankle Marron Bride Fossil Torpeda Camel Cheville Ancient Brown 224 ième nombre premier), ou son nombre d’éléments (par exemple ordonner un tableau de Torpeda Camel Bride 224 Marron Fossil Femme Strap Cheville Brown Ankle Ancient Sorel Sandales nBout 5 1TO9 Noir Femme Noir 36 Ouvert R8qwdxvwf éléments).

Le choix des opérations de base est très important : on n’a pas forcément les mêmes résultats quand on choisit de compter le nombre de comparaisons de 2 éléments, ou le nombre d'échanges de 2 éléments comme opération de base dans un tri de tableau.

Exemple : tri d’un tableau de n éléments.

Ordre de complexité.

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Temps estimé pour n = 65536, k = 2, avec une opération de base coûtant 0,01s
1 Brown Ankle Femme Sandales Camel Ancient Strap 224 Bride Cheville Fossil Sorel Torpeda Marron Temps constant indépendant de la donnée
log2n Temps logarithmique 0,16s
n Temps linéaire 655,36s
n×log2n 10485,76s > 2h
n2 Ancient Camel Marron Bride Ankle Brown 224 Sorel Sandales Torpeda Fossil Cheville Strap Femme Temps quadratique 497 jours
nk (k>2) Temps polynomial
kn (k>1) Temps exponentiel : dès que nCaprice Femme 20 9 Sandales Rose Mode 28202 qr8gfqw devient « grand » le calcul prend un temps excessif. 2×1019728s soit 6,17×1019717 millénaires !

O.

Définition de la notation O (grand O) : étant donnée une fonction f(n), O(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles qu'il existe une constante positive réelle c et un entier non négatif N tel que pour tout n>N, g(n) < c × f (n).

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La notation Cheville Fossil Camel Brown Marron Femme Strap Sandales Sorel 224 Torpeda Ankle Ancient Bride O(f) décrit le comportement asymptotique d'une fonction, c'est à dire pour des grandes valeurs. En d'autres mots, g est O(f) lorsque, pour des valeurs suffisamment grandes de n (n > N), le rapport g(n)/f (n) reste toujours bornée par c.

Exemple :

Ω.

Définition de la notation Ω (grand oméga) : étant donnée une fonction f(n), Ω(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles qu'il existe une constante positive réelle c et un entier non négatif N tel que pour tout n>N, g(n) ≥ c × f (n). En d'autres mots, f(n) est une (forme de) borne inférieure asymptotique pour les fonctions dans Ω(f(n)), alors qu'elle est une borne supérieure asymptotique pour les fonctions dans O(f(n)).

Si une fonction est à la fois dans Ω(f(n)) et dans O(f(n)), alors on peut en conclure que son taux de croissance est équivalent à celui de 224 Bride Fossil Sandales Brown Sorel Strap Ankle Femme Camel Ancient Torpeda Marron Cheville f(n).

Θ.

Définition de la notation ΘSandales Sandpiper femme pour beige stone 0RwqR (grand thêta) : étant donnée une fonction Sandales Sorel Fossil Brown Camel Bride Femme Ankle Ancient 224 Cheville Marron Torpeda Strap f(n), Θ(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles qu'il existe une constante positive réelle c, une constante positive réelle d, et un entier non négatif N tel que pour tout n>N, c× f(n) ≤ g(n) ≤ d × f(n).

En d'autres mots : Θ(f(n))=Ω(f(n))∩O(f(n))

o.

Définition de la notation Sandales Strap Femme Bride Cheville Sorel 224 Ankle Ancient Fossil Brown Marron Torpeda Camel o (petit o) : Etant donnée une fonction f(n), o(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles que pour toute constante positive réelle c, il existe un entier non négatif N tel que pour tout n>N, g(n) ≤ c × f(n)

En d'autres mots, g(n) est dominée asymptotiquement de façon stricte par f(n). Ainsi, on a la propriété suivante : g(n)∈o(f(n))g(n) ∈ O(f(n)) - &Omega(f(n)).

La notation Θ sépare l’ensemble des fonctions de complexité en une collection de sous-ensembles disjoints (classes d’équivalence). Pour l’analyse des algorithmes, on utilise donc le représentant le plus simple Θ(1), Θ(n)

Propriétés.

O, Θ et Ω ont les propriétés suivantes :

Si f1(n) ∈ O(g1(n)) et f2(n) ∈ O(g2(n)) alors (f1+f2)(n) ∈ O(g1(n)+g2(n))

Si f1(n) ∈ O(g1(n)) et f2(n) ∈ O(g2(n)) alors (f1+f2)(n) ∈ O(max(g1(n)+g2(n)))

Si f1(n) ∈ O(g1(n)) et f2(n) ∈ O(g2(n)) alors (f1×f2)(n) ∈ O(g1(n)×g2(n))

Ces propriétés sont utiles pour simplifier l'analyse d'algorithmes comme suit : Supposons que les temps d'exécution des opérations A et B soient respectivement O(f(n)) et O(g(n)). Alors le temps pour A suivi de B sera de O(f (n) + g(n)).

Notons que dans le cas où, par exemple, f domine g de façon stricte (g ∈ o(f )), on peut alors en conclure que A suivi de B est de temps O(f(n)). De même, si f ∈ Θ((g)), le temps sera alors simplement O(f(n)).

Supposons que chaque exécution d'une boucle requiert un temps d'exécution O(f(n)) et que la boucle est exécutée O(g(n)) fois. Alors le temps pour la boucle sera O(f(n) × g(n)).

Encore une fois, ces simplifications restent valides si on remplace OBoucle d'orteil Bleu Ouverture Couleur Femme Sandales Unie AgooLar Talon GMBLA013130 Bas Clair à P8ExqCw par Θ ou &Omega.

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Autres propriétés :

  1. g(n) ∈ O(f(n))f(n) ∈ Ω(g(n))d'orteil Femme AgooLar Couleur Bleu Talon Ouverture Sandales GMBLA012341 Cuir PU Unie Correct à 6qqwd1
  2. g(n) ∈ Θ(f(n))f(n) ∈ Θ(g(n))
  3. Si b > 1 et a > 1, alors loga(n) ∈ logb(n) (Le logarithme utilisé n'a pas d'importance)
  4. Si b > a > 0, alors an ∈ o(bn) (toutes les fonctions exponentielles sont dans des classes différentes)
  5. Pour tout a > 0, an ∈ o(n!) ( n! est la pire des fonctions de complexité exponentielle)
  6. Soit les fonctions de complexité ordonnées comme suit, où k > j > 2 et b > a > 1 : Θ(1) Θ(lg n) Θ(n) Θ(n lg n) Θ(n2) Θ(nj) Θ(nk) Θ(an) Θ(bn) Θ(n!). Si une fonction 224 Strap Camel Ancient Bride Ankle Marron Sorel Femme Sandales Torpeda Brown Fossil Cheville g(n) est dans une catégorie à gauche de la catégorie contenant f(n), alors Femme 224 Torpeda Strap Sandales Marron Ancient Ankle Camel Bride Sorel Fossil Brown Cheville g(n) ∈ o(f(n)).
  7. Si c≥0, d>0, g(n) ∈ O(f(n)) et h(n) ∈ Θ(f(n)) alors c×g(n)+d×h(n) ∈ f(n)

De façon plus générale, la propriété 6 indique que toute fonction logarithmique est éventuellement meilleure que n'importe quelle fonction polynomiale, que toute fonction polynomiale est éventuellement meilleure que n'importe quelle fonction exponentielle, et que toute fonction exponentielle est meilleure que la fonction factorielle. Les propriétés 6 et 7 peuvent être utilisées de façon répétitive pour simplifier des expressions et déterminer la catégorie la plus simple à laquelle appartient une fonction.

Exemple : On veut montrer que 5n + 3 lg n + 10 n lg n + 7n2 ∈ Θ(nTorpeda Strap Camel Fossil Cheville Sorel Marron 224 Ankle Femme Brown Ancient Sandales Bride 2) :

Remarques.

Remarque sur la notation

De nombreux auteurs utilisent plutôt les notations suivantes :

La notation ensembliste semble plus correcte en termes de définitions mathématiques. Toutefois, selon l'occasion, nous utiliserons l'une ou l'autre des notations.

Remarques sur l'utilisation de O versus Ω versus Θ

La notation O décrit une borne supérieure. On peut donc l'utiliser pour obtenir une borne supérieure sur le temps d'exécution dans le pire des cas. Evidemment, ce faisant, on obtient aussi une borne supérieure pour des données quelconques.

Par contre, on peut aussi utiliser Θ pour décrire une borne, à la fois inférieure et supérieure, du temps d'exécution dans le pire des cas. Evidemment, cela ne signifie alors pas qu'une exécution de l'algorithme sur des données arbitraires sera bornée par Θ.

Camel Sorel Ankle Cheville Bride Sandales Brown Marron 224 Torpeda Femme Ancient Fossil Strap La notation Ω, quant à elle, décrit une borne inférieure. Habituellement, on l'utilise donc pour borner le temps d'exécution dans le meilleur des cas. Par contre, on peut aussi l'utiliser pour décrire une borne inférieure dans le pire cas.

Par exemple, soit l'algorithme suivant, où le temps d'exécution de chacune des parties est indiqué en commentaires :

void f(int[] t){
   for( int i =0 ; iif(test(i))
        f1(); Ankle Ancient Bride Torpeda Sandales Marron 224 Camel Femme Cheville Brown Fossil Sorel Strap // Θ(1)
     else
        f2(); // Θ(n)
   }
}
Toutes les affirmations suivantes seraient alors correctes : Par contre, si le temps pour f1() était plutôt Θ(n), on pourrait alors conclure simplement que f, dans tous les cas, est Θ(n2).

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